Seit etwa eineinhalb Jahren beschaeftigt mich folgender Gedanke. Sicherlich ist der nicht grundlegend neu und daher habe ich mich entschlossen mal darueber zu bloggen. Moeglicherweise hat ja eine mathematisch bewanderte LeserIn einen Pointer zu weiteren Informationen zu dem Thema fuer mich ...
Zunaechst moechte ich den Begriff der "beschreibbaren Zahl" definieren:
Def. 1: Eine beschreibbare Zahl ist eine (reelle) Zahl die entweder ueber eine Beschreibung Ihrer Eigenschaften oder ueber eine Konstruktionsvorschrift innerhalb eines Zeichensystems eindeutig von allen anderen Zahlen unterschieden werden kann.
Man wuerde annehmen, dass alle (reellen) Zahlen in die Menge der beschreibbaren Zahlen fallen. Doch das scheint nicht der Fall zu sein.
Def. 2: Eine Aussage ist eine endliche Folge von Zeichen eines Zeichensystems aus einer endlichen Anzahl von Symbolen, die geeignet ist maximal eine abzaehlbar grosse Menge von konkreten Zahlen zu beschreiben. Z.B. koennte man als Zeichensystem einfach das ASCII-Alphabet und die deutsche Sprache verwenden.
Was ist gemeint mit "maximal eine abzaehlbar grosse Menge von konkreten Zahlen"? Damit ist gemeint, dass eine Aussage zwar z.B. die reellen Zahlen als Menge in ihrerer Gesamtheit beschreiben kann, nicht aber jedes Element eindeutig zu beschreiben vermag. (Selbst mit Auswahlaxiom koennte man wohl nur eine abzaehlbar grosse Teilmenge der reellen Zahlen in einer Aussage beschreiben. Wir wollen das Auswahlaxium aber nicht zulassen, sonst kaeme jemand auf die Idee ein Element aus Menge der nicht beschreibbaren Zahlen auszuwaehlen.) Ich hoffe dieser Sachverhalt ist anschaulich genug so dass er so akzeptiert werden kann.
Lemma 1: Es gibt eine abzaehlbar unendlich grosse Menge von Aussagen. Das folgt unmittelbar, da man jeder Nachricht {z_1, z_2, .. z_n} mit n Zeichen aus einem Zeichensystem aus k verschiedenen Zeichen die natuerliche Zahl sum(z_i * k^(i-1), i = 1..n) zuordenen kann. D.h. man kann z.B. jeder ASCII Datei eine sehr grosse Binaerzahl zuordnen.
Lemma 2: Es gibt eine abzaehlbar unendlich grosse Menge von beschreibbahren Zahlen. Das folgt unmittelbar wenn man Cantors erstes Diagonalargument auf die abzaehlbar unendlich grosse Menge von Aussagen und die abzaehlbar unendlich grosse Menge von beschreibbaren Zahlen pro Aussage anwendet.
D.h. dass es z.B. in der Menge der reellen Zahlen (die ja ueberabzaehlbar groß ist) eine abzaehlbar grosse Teilmenge von beschreibbaren Zahlen gibt zu der alle konkreten Zahlen gehoeren mit denen wir uns je beschaeftigen. Damit wir uns mit einer konkreten Zahl ueberhaupt beschaeftigen koennen muss sie ja beschreibbar sein. Der ueberabzaehlbar grosse Grossteil der reellen Zahlen aber besteht offenbar aus nicht beschreibbaren Zahlen die fuer uns als einzelne nicht greifbar sind. Es ist unmoeglich so eine Zahl aus den reellen Zahlen herauszureissen und als einzelne zu untersuchen.
This blows my mind! Was denkt Ihr?
